Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas)

Rafael C. AsthProfessor de Matemática e Física

Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o ensino fundamental e médio.

Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar suas dúvidas.

Questões nível fácilQuestão 1

Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?

Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.

Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.

$tabela linha com célula com tabela linha com blank blank blank linha com blank ⬤ blank linha com blank blank blank fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank blank linha com blank blank blank linha com blank blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank blank linha com blank ⬤ blank linha com blank blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank ⬤ linha com blank blank blank linha com ⬤ blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank ⬤ linha com blank ⬤ blank linha com ⬤ blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula célula com tabela linha com ⬤ blank ⬤ linha com ⬤ blank ⬤ linha com ⬤ blank ⬤ fim da tabela em moldura de caixa fecha moldura fim da célula linha com 1 2 3 4 5 6 fim da tabela$

Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos favoráveis é igual a 3.

Calculamos então a probabilidade utilizando a seguinte fórmula:

Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.

$reto P espaço igual a espaço 3 sobre 6 igual a 1 meio$

As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.

Questão 2

Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?

Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.

1º passo: determinar o número de eventos possíveis.

Para cada dado há 6 possibilidades de resultado. São seis possibilidades para um dado e seis possibilidades para ou outro.

Sendo assim, o número de eventos possíveis é:

U = 6 x 6 = 36 possibilidades

2º passo: determinar o número de eventos favoráveis.

Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, os resultados com números iguais são:

$abre chaves abre parênteses 1 vírgula 1 fecha parênteses vírgula abre parênteses 2 vírgula 2 fecha parênteses vírgula abre parênteses 3 vírgula 3 fecha parênteses vírgula abre parênteses 4 vírgula 4 fecha parênteses vírgula abre parênteses 5 vírgula 5 fecha parênteses vírgula abre parênteses 6 vírgula 6 fecha parênteses fecha chaves$

Existem seis resultáveis favoráveis.

3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.

$reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração reto P espaço igual a espaço 6 sobre 36 igual a 1 sobre 6 igual a 0 vírgula 1666...$

Para termos o resultado em porcentagem basta apenas multiplicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%.

Questão 3

Um saco contém 8 bolas de mesmo tamanho, mas com cores diferentes: três azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?

Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.

A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis.

Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por isso, a chance de retirar uma bola azul é dada por.

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 37,5%.

Questão 4

Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas possuindo quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada naipe?

Resposta correta: 7,7%

O evento de interesse é tirar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de possibilidades de retirar um ás é igual a 4.

O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52.

Substituindo na fórmula de probabilidade, temos:

$reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração reto P espaço igual a espaço 4 sobre 52 igual a 1 sobre 13 aproximadamente igual 0 vírgula 077$

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 7,7%.

Questão 5

Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?

Resposta correta: 0,5 ou 50%.

A quantidade de número total que podem ser sorteados é 20.

A quantidade de números múltiplos de dois são:

A = $abre chaves 2 vírgula 4 vírgula 6 vírgula 8 vírgula 10 vírgula 12 vírgula 14 vírgula 16 vírgula 18 vírgula 20 fecha chaves$

Substituindo os valores na fórmula de probabilidade, temos:

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múltiplo de 2 é de 50%.

Para mais questões, veja também: Exercícios de Probabilidade (fáceis)

Questões nível médioQuestão 6

Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

Resposta correta: 0,3125 ou 31,25%.

1º passo: determinar o número de possibilidades.

Há duas possibilidades ao lançar uma moeda: cara ou coroa. Se há duas possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço amostral é:

$2 à potência de 5 igual a espaço 2.2.2.2.2 espaço igual a espaço 32$

2º passo: determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.

O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.

O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de combinações para o evento ocorrer são:

CCCOOOOCCCCCOOCCOOCCCCOCOCOCOCOCCOCOCOCCOCCCOCOCCO

Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.

3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.

Substituindo os valores na fórmula, temos que:

$reto P espaço igual a espaço numerador número espaço de espaço casos espaço que espaço nos espaço interessam sobre denominador espaço número espaço total espaço de espaço casos espaço possíveis fim da fração reto P espaço igual a espaço 10 sobre 32 igual a 5 sobre 16 igual a 0 vírgula 3125$

Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de "sair" cara 3 vezes é de 31,25%.

Veja também: Probabilidade Condicional

Questão 7

Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de:

a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4.b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5.c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5.d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.

Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12.

Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:

Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.

Tabela 1:

1.º lançamento->

2.º lançamento

1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,4)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.

b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.

c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.

Tabela 2:

1.º lançamento->

2.º lançamento

1234561234567234567

3456789456789105678910116789101112

Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:

d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:

Veja também: Probabilidade

Questão 8

Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

Resposta correta: 7,8%.

Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:

$abre parênteses tabela linha com n linha com k fim da tabela fecha parênteses espaço p à potência de k. espaço q à potência de n menos k fim do exponencial$

onde:

n: número de vezes que ocorrerá a experiênciak: número de vezes de acontecer um eventop: probabilidade do evento acontecerq: probabilidade do evento não acontecer

Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:

n = 7k = 3 $p igual a 1 sobre 6$ (em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis) $q igual a 1 menos p igual a 5 sobre 6$

Substituindo os dados na fórmula: $abre parênteses tabela linha com 7 linha com 3 fim da tabela fecha parênteses espaço abre parênteses 1 sobre 6 fecha parênteses ao cubo abre parênteses 5 sobre 6 fecha parênteses à potência de 4$

$numerador 7 fatorial sobre denominador 3 fatorial espaço parêntese esquerdo 7 menos 3 parêntese direito fatorial fim da fração. espaço 1 sobre 216.625 sobre 1296$

$35.1 sobre 216.625 sobre 1296 igual a 21875 sobre 279936 igual a 0 vírgula 078$

Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.

Questão 9

Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos e 2 meninas. Calcule esta probabilidade.

Resposta: 31,25%

A probabilidade do evento A nascer menina é: P(A) = 1/2A probabilidade do evento B nascer menino é: P(B) = 1/2

A ocorrência destes eventos é independente e uma das possibilidades seria:

A . A . B . B . B

Desta forma, em probabilidades

$P parêntese esquerdo A parêntese direito espaço. espaço P parêntese esquerdo A parêntese direito espaço. espaço P parêntese esquerdo B parêntese direito espaço. espaço P parêntese esquerdo B parêntese direito espaço. espaço P parêntese esquerdo B parêntese direito abre colchetes P parêntese esquerdo A parêntese direito fecha colchetes ao quadrado. espaço abre colchetes P parêntese esquerdo B parêntese direito fecha colchetes ao cubo abre parênteses 1 meio fecha parênteses ao quadrado. espaço abre parênteses 1 meio fecha parênteses ao cubo$

Ainda, é preciso verificar que os eventos podem ocorrer em diversas ordens. Para resolver calculamos uma permutação de 5 elementos, com 2 repetições de A e 3 repetições de B.

$P com 5 subscrito à potência de 2 vírgula 3 fim do exponencial igual a numerador 5 fatorial sobre denominador 2 fatorial espaço. espaço 3 fatorial fim da fração igual a numerador 5 espaço. espaço 4 espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre 3 fatorial fim do riscado sobre denominador 2 fatorial espaço. espaço riscado diagonal para cima sobre 3 fatorial fim do riscado fim da fração igual a 20 sobre 2 igual a 10$

Repare que este é o mesmo resultado de realizarmos uma combinação:

$C abre parênteses tabela linha com 5 linha com 3 fim da tabela fecha parênteses igual a numerador 5 fatorial sobre denominador 3 fatorial espaço parêntese esquerdo 5 espaço menos espaço 3 fatorial parêntese direito fim da fração igual a numerador 5 fatorial sobre denominador 3 fatorial espaço 2 fatorial fim da fração igual a 10$

A probabilidade final será calculada como:

$10 espaço. espaço abre parênteses 1 meio fecha parênteses ao quadrado. abre parênteses 1 meio fecha parênteses ao cubo igual a 10 espaço. espaço 1 quarto espaço. espaço 1 sobre 8 igual a 10 sobre 32 igual a 0 vírgula 3125 espaço igual a espaço 31 vírgula 25 sinal de percentagem$

Questão 10

Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de uma cidade, evidenciou que 200 entrevistados assistem apenas ao telejornal A, 250 apenas ao telejornal B e 50 assistem ao A e B. Das pessoas entrevistadas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que assiste o telejornal A ou o telejornal B?

Resposta: 62,5%

Seja o evento A, sortear uma pessoa que assiste ao telejornal A,

$P parêntese esquerdo A parêntese direito igual a numerador p e s s o a s espaço q u e espaço a s s i s t e m espaço A sobre denominador 800 fim da fração igual a numerador 200 espaço mais espaço 50 sobre denominador 800 fim da fração igual a 250 sobre 800$

O evento B, sortear uma pessoa que assiste ao B,

$P parêntese esquerdo B parêntese direito igual a numerador p e s s o a s espaço q u e espaço a s s i s t e m espaço B sobre denominador 800 fim da fração igual a numerador 250 espaço mais espaço 50 sobre denominador 800 fim da fração igual a 300 sobre 800$

A interseção são as pessoas que assistem aos dois telejornais, 50 pessoas.

$P parêntese esquerdo A intersecção B parêntese direito igual a 50$

Desta forma, temos que

$P abre parênteses A U B fecha parênteses igual a P parêntese esquerdo A parêntese direito mais P parêntese esquerdo B parêntese direito espaço menos espaço P parêntese esquerdo A intersecção B parêntese direito P abre parênteses A U B fecha parênteses igual a 250 sobre 800 mais 300 sobre 800 menos 50 sobre 800 igual a 500 sobre 800 igual a 5 sobre 8 igual a 0 vírgula 625 igual a 62 vírgula 5 sinal de percentagem$

A probabilidade de sortear alguém que assista a A ou O é de 62,5%.

Veja também: Análise Combinatória

Questões de probabilidade no EnemQuestão 11

(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.

O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.

As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintasb) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintasc) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintasd) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintase) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas

Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.

$6 espaço. espaço 5 espaço. espaço 9 espaço igual a espaço 270$

2º passo: interpretar o resultado.

Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.

Questão 12

(Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

CorUrna 1Urna 2Amarela40Azul31Branca22Verde13Vermelha04

Uma jogada consiste em:

1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 22.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 24.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

a) Azulb) Amarelac) Brancad) Verdee) Vermelha

Alternativa correta: e) Vermelha.

Analisando os dados da questão, temos:

Como a urna 2 não tinha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o máximo que terá de bolas amarelas é 1.Como tinha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas azuis na urna é 2.Como tinha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na urna será 3.Como já tinha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na urna será 4.Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa cor.

Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade.

Questão 13

(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.

Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a) 1/2b) 5/8c) 1/4d) 5/6e) 5/14

Alternativa correta: a) 1/2.

1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.

$1200 espaço menos espaço 300 espaço igual a espaço 900$

2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.

$parêntese esquerdo 600 espaço menos espaço reto x espaço parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 500 espaço menos espaço reto x parêntese direito espaço mais espaço reto x espaço igual a espaço 900 menos espaço reto x espaço menos espaço reto x espaço mais espaço reto x igual a espaço 900 espaço menos espaço 600 espaço menos espaço 500 menos espaço reto x espaço igual a espaço menos espaço 200 espaço. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito reto x espaço igual a espaço 200$

3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.

$1200 espaço menos espaço 600 espaço igual a espaço 600 500 espaço menos espaço 200 espaço igual a espaço 300 300 sobre 600 espaço igual a espaço 1 meio$

Questão 14

(Enem/2013) Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.

O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Quantidade de números

escolhidos em uma cartela

Preço da Cartela62,00712,00840,009125,0010250,00

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidosBruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidosCaio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidosDouglas: 4 cartelas com 9 números escolhidosEduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:

a) Caio e Eduardob) Arthur e Eduardoc) Bruno e Caiod) Arthur e Brunoe) Douglas e Eduardo

Alternativa correta: a) Caio e Eduardo.

Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.

$reto C com parêntese esquerdo reto n vírgula reto p parêntese direito subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço numerador reto n fatorial sobre denominador reto p fatorial parêntese esquerdo reto n menos reto p parêntese direito fatorial fim da fração espaço$

Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados (n).

Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos:

Arthur: 250 x C(6,6)

$250 espaço reto x espaço numerador 6 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 6 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 250 espaço reto x espaço 1 espaço igual a espaço 250$

Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6)

$41 espaço reto x espaço numerador 7 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 7 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração mais espaço 4 espaço reto x espaço numerador 6 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 6 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 287 espaço mais espaço 4 espaço igual a espaço 291$

Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6)

$12 espaço reto x espaço numerador 8 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 8 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração mais espaço 10 espaço reto x espaço numerador 6 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 6 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 336 espaço mais espaço 10 espaço igual a espaço 346$

Douglas: 4 x C(9,6)

$4 espaço reto x espaço numerador 9 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 9 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 4 espaço reto x espaço 84 igual a espaço 336$

Eduardo: 2 x C(10,6)

$2 espaço reto x espaço numerador 10 fatorial sobre denominador 6 fatorial parêntese esquerdo 10 menos 6 parêntese direito fatorial fim da fração igual a 2 espaço reto x espaço 210 espaço igual a espaço 420$

De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados.

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Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas)

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